Les polyèdres réguliers (I solidi platonici)

La sphère a toujours été considéré comme la figure parfaite. Pourquoi dit-on que la sphère est une figure parfaite? Eh bien parce que c’est une figure parfaitement symétrique. En effet si l’on fait varier, si l’on fait tourner la sphère autour de l’un quelconque de ses trois axes qui nous permettent de repérer l’espace à trois dimensions, d’un angle arbitraire alpha, bêta ou gamma, n’importe dans quelle direction, la sphère reste totalement identique à elle même: on dit que la sphère est totalement invariante par l’ensemble des trois rotations de l’espace.

Alors les Grecs donc connaissaient bien cette propriété de la sphère.

Ensuite les Grecs se sont demandé: «Existe-t-il d’autres figures qui seraient aussi, qui auraient aussi des propriétés de symétrie, mais légèrement moindres que celles de la sphère. La sphère c’est simplement la figure parfaite. Existe-t-il des figures moins parfaites mais tout de même assez parfaites?»

Eh bien, oui. Et c’est ce qu’on appelle les polyèdres réguliers.

Alors, voici un exemple de polyèdre régulier qui techniquement s’appelle icosaèdre; vous voyez qu’il y a des faces, il faut voir ça donc eh, dans l’espace à trois dimensions. Cette structure-là, avec des faces triangulaires, il y a un certain nombre des faces triangulaires et en fait vous voyez que pour que ce polyèdre régulier ne change pas d’aspect sur certaines rotations d’espace, eh bien vous voyez qu’il n’y a plus que certaines rotations qui permettent au polyèdre de rester strictement identique à lui-même. On ne peut plus le faire tourner autour d’un angle arbitraire, autour des trois axes alpha, bêta et gamma, mais seulement des rotations dites «discrètes», des rotations discontinues par certains angles.

Et les Grecs donc ont étudié les propriétés de ces figures géométriques et ont découvert par des arguments extrêmement simples mais déjà profonds sur le plan de la géométrie, qu’il existe en tout et pour tout seulement cinq polyèdres réguliers qui possèdent cette propriété.

Or ça peut paraître surprenant, mais je vous en donne une démonstration extrêmement simple, ….voila, qui est la suivante, qui sera la seule équation de ce soir, rassurez-vous!. Voilà.

Comment construit-on un polyèdre dans l’espace?

Eh bien on va considérer premièrement le nombre «p» qui est le nombre de côtés de chaque face. Par exemple, ici, dans ce polyèdre-là, «p» est égal à trois puisqu’on a des triangles: chaque face est un triangle. Ensuite on considère le nombre «q» qui va être le nombre de faces que l’on peut joindre autour de chaque sommet. Alors, par exemple, toujours dans cet icosaèdre le nombre de faces qu’on peut joindre à chaque sommet est égal à cinq. Et ont regarde maintenant la condition que doivent satisfaire «p» et «q» pour pouvoir développer dans l’espace un polyèdre régulier. Il faut pas trop avoir de sommets, il ne faut pas avoir trop de faces sinon on n’y arrivera pas Et bien la condition géométrique c’est celle-ci: (p-q) (q-2) < 4 avec évidemment (p, q ³ 3) puisque on commence évidemment avec des triangles.

Eh bien il n’existe qu’un nombre fini de solutions à cette équation à nombres entiers qui sont décrites ici dont les couples de «p» et «q» sont les suivants: 3-3, 3-4, 4-3, 3-5, 5-3.

Alors dans le polyèdre régulier qui a trois côtés eh bien c’est le tétraèdre, la pyramide. Ensuite il y a le polyèdre suivant qui s’appelle octaèdre, ensuite le suivant c’est l’hexaèdre parce qu’il a six faces en fait c’est tout simplement le cube, ensuite celui-la l’icosaèdre que je vous montre que c’est bien 3-5 et le dernier c’est le dodécaèdre qui correspond à la structure de 5-3 et il n’y en a pas d’autres. Alors ces polyèdres réguliers ont été réellement découverts par les géomètres grecs et quand je vous parle de géométrisation du monde physique eh bien les Grecs ont voulu associer aux polyèdres réguliers les éléments naturels.

Ils ont essayé de classer l’ensemble des éléments terrestres et ils les ont classes en catégories.

 Il y avait le feu, l’air, la terre et l’eau plus un élément non-terrestre qu’Aristote va appeler la cinquième essence, la quintessence qui va représenter l’Éther, c’est-à-dire ce qui va être au-delà du monde terrestre. Et donc les Grecs ont associé ces éléments, ces polyèdres réguliers aux éléments terrestres.

Le feu pour le tétraèdre, l’octaèdre pour l’air, le cube pour la terre, l’icosaèdre pour l’eau et le dodécaèdre pour la quintessence.

L’association n’était pas tout à fait arbitraire, elle reposait sur certains arguments qui aujourd’hui évidemment sont totalement dépassés, mais l’idée de la géométrisation du monde est là.

Alors, en fait, il y a eu une double géométrisation. Premièrement pour décrire la matière supraterrestre, c’est-à-dire le ciel, le ciel est le domaine de Dieu, donc le ciel doit être un reflet de la perfection divine.

Donc pour géométriser le ciel on va faire intervenir la figure géométrique la plus parfaite qui soit, c’est-à-dire la sphère. Maintenant la terre, la terre n’est pas parfaite, on observe tous les jours qu’il y a des êtres qui naissent, qui vivent, qui meurent, il y a de la corruptibilité: les choses changent constamment sur la terre. Donc pour décrire les éléments terrestres on ne va plus prendre la figure parfaite, mais une figure un peu moins parfaite et ce sont précisément les polyèdres réguliers.